线性可控性 Linearized Controllability Property LPC

LPC（Linearized Controllability Property，线性化可控性） 是一个用来判断我们能否在局部有效控制一个复杂非线性系统的工具。

它问的是这样一个问题：如果系统沿着一条预定轨迹（路径）运动时，受到一点点微小的干扰偏离了轨迹，我们有没有能力通过微调控制输入，让它回到我们想要的任何一个附近的微小位置上？如果答案是“有”，那么系统就具备LPC。

数学语言描述

系统与轨迹：考虑一个非线性系统

$$ \dot{x}(t)=f(x(t),u(t)) \tag{1} $$

其中 $t \in [0, T]$，$x(t) \in \mathbb{R}^n$，$u(t) \in \mathbb{R}^m$，以及 $f \in C^1(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^n)$。给定初始状态 $x_0$ 和控制输入函数 $u: [0, T] \to \mathbb{R}^m$，记真实轨迹 $x^\ast(t) = \varphi_t(u, x_0)$ 满足：

$$ \dot{x}^*(t)=f(x^*(t),u(t)),\quad x^*(0)=x_0. $$

沿轨迹的线性化：考虑状态 $x$ 和控制 $u$ 的微小扰动

$$ x(t)=x^*(t)+\delta x(t), \quad u_{new}(t)=u(t)+\delta u(t) $$

代入原系统方程 (1) 并对 $f$ 泰勒展开，我们可以得到 $\delta x(t)$ 的变分方程

$$ \dot{\delta}x(t)=A(t)\delta x(t)+B(t)\delta u(t). $$

$$ A(t):=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x=x^*(t),u=u(t))}, \quad B(t):=\frac{\partial f}{\partial u}\bigg|_{(x=x^*(t),u=u(t))} $$

此为一个线性时变（Linear Time-Varying, LTV）系统。

线性化可控性 LPC：给定非线性系统 $\dot{x}(t)=f(x(t),u(t))$，初始状态 $x_0$，控制输入 $u(t)$，以及真实轨迹 $x^\ast(t)$。该系统在 $t \in [0, T]$ 上是线性化可控的若对应的线性时变系统

$$ \dot{z}(t)=A(t)z(t)+B(t)v(t) \tag{2} $$

$$ A(t):=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x=x^*(t),u=u(t))}, \quad B(t):=\frac{\partial f}{\partial u}\bigg|_{(x=x^*(t),u=u(t))} $$

在 $[0, T]$ 上是可控的。

(2) 的可控性保证了 $\delta x$ 是可控的，也就是说可以施加微小控制 $\delta u(t) = v(t)$，将偏差 $\delta x(t) = z(t)$ 拉到期望值。

等价条件：LTV 系统 (2) 是可控的等价于其在 $[0, T]$ 上的可控性格拉姆矩阵（Controllability Gramian）$W_C(0, T)$ 是非奇异的：

$$ W_C(0,T)=\int_0^T\Phi(T,\tau)B(\tau)B^T(\tau)\Phi^T(T,\tau)d\tau $$

其中 $\Phi(t, \tau)$ 满足

$$ \dot{\Phi}(t,\tau)=A(t)\Phi(t,\tau), \quad \Phi(\tau,\tau)=I. $$

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